1．前言
n支球隊(duì)在同一場(chǎng)地上進(jìn)行單循環(huán)賽有多種賽程安排，問題是如何編制符合公平性的賽程，數(shù)學(xué)上這是一個(gè)滿足一定指標(biāo)要求的配對(duì)排序問題。
本文在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，由問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，建立出問題的線性規(guī)劃模型；由問題的特殊性將n分為偶數(shù)與奇數(shù)分別研究，獲得關(guān)于各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間相隔場(chǎng)次數(shù)上限的一般公式，用構(gòu)造性方法加以證明；運(yùn)用歸納的方法發(fā)現(xiàn)了這種特殊排序中的對(duì)稱規(guī)律，由此設(shè)計(jì)出符合上限要求的計(jì)算機(jī)算法與實(shí)際人工編制法。文中對(duì)賽程優(yōu)劣的評(píng)價(jià)指標(biāo)也作了較多的探討。
本文一個(gè)特點(diǎn)是，分析研究迄今體育界實(shí)際使用的賽程“循環(huán)編制法”，發(fā)現(xiàn)其對(duì)n為奇數(shù)時(shí)編制的賽程公平性差，給出了一種n 為奇數(shù)時(shí)編制簡(jiǎn)便、結(jié)果合理的人工編制法。
2．問題的提出
你所在的年級(jí)有5個(gè)班，每班一支球隊(duì)在同一塊場(chǎng)地上進(jìn)行單循環(huán)賽, 共要進(jìn)行10場(chǎng)比賽. 如何安排賽程使對(duì)各隊(duì)來說都盡量公平呢. 下面是隨便安排的一個(gè)賽程: 記5支球隊(duì)為A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的10個(gè)空格中, 隨手填上1,2,?10, 就得到一個(gè)賽程, 即第1場(chǎng)A對(duì)B, 第2場(chǎng)B對(duì)C, ?, 第10場(chǎng)C對(duì)E. 為方便起見將這些數(shù)字沿對(duì)角線對(duì)稱地填入左下三角.
這個(gè)賽程的公平性如何呢, 不妨只看看各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間得到的休整時(shí)間是否均等. 表的右半部分是各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔的場(chǎng)次數(shù), 顯然這個(gè)賽 程對(duì)A, E有利, 對(duì)D則不公平.
? A B C D E 每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù) A X 1 9 3 6 1, 2, 2 B 1 X 2 5 8 0, 2, 2 C 9 2 X 7 10 4, 1, 0 D 3 5 7 X 4 0, 0, 1 E 6 8 10 4 X 1, 1, 1 ? 從上面的例子出發(fā)討論以下問題:
1)????? 對(duì)于5支球隊(duì)的比賽, 給出一個(gè)各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間都至少相隔一場(chǎng)的賽程.
2)????? 當(dāng)n支球隊(duì)比賽時(shí), 各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔的場(chǎng)次數(shù)的上限是多少.
3)????? 在達(dá)到2) 的上限的條件下, 給出n=8, n=9的賽程, 并說明它們的編制過程.
4)????? 除了每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù)這一指標(biāo)外, 你還能給出哪些指標(biāo)來衡量一個(gè)賽程的優(yōu)劣, 并說明3) 中給出的賽程達(dá)到這些指標(biāo)的程度.
賽程安排直接影響比賽的公平性，如何建立衡量一個(gè)賽程的優(yōu)劣的指標(biāo)，建立編制公平合理的排列問題的數(shù)學(xué)研究，也有數(shù)學(xué)意義。
3．基本假設(shè)（1）設(shè)n支參賽隊(duì)在同一場(chǎng)地上進(jìn)行單循環(huán)賽。（2）假設(shè)賽程的公平性只與賽程安排有關(guān)，而與裁判等其它因素?zé)o關(guān)。（3）在假設(shè)（2）下賽程的公平性就是指各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間得到休整時(shí)間均等性，其中“每隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽”限定為指“每隊(duì)每相鄰兩場(chǎng)比賽”。（4）假設(shè)任相鄰兩場(chǎng)比賽之間間隔時(shí)間相同。
4．建立模型
4.1符號(hào)說明
n 參賽隊(duì)數(shù) N 比賽場(chǎng)數(shù) M 賽程總共安排數(shù) j隊(duì)與k隊(duì)比賽場(chǎng)次序號(hào)數(shù) t隊(duì)與j隊(duì)及k隊(duì)兩場(chǎng)比賽間最小相隔場(chǎng)次數(shù) (I,j) 第i隊(duì)與第j隊(duì)比賽 e 各隊(duì)在全部賽程中間隔場(chǎng)次數(shù) d 各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間相隔場(chǎng)次數(shù)的上限 di 第i賽程各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔最小場(chǎng)次數(shù) 問題分析 在假設(shè)（1）下，即n個(gè)隊(duì)在同～場(chǎng)地進(jìn)何單循環(huán)賽共有M=場(chǎng)比賽，有M=（）！種賽程安排，通常M是較大的數(shù)字。M種賽程中各隊(duì)比賽間隔情況不同，因而對(duì)各隊(duì)的比賽有影響。題目中4個(gè)問題相互聯(lián)系，基本的題是賽程安排公平性及其編排法。賽程的公平性而對(duì)所有參賽隊(duì)而言，同時(shí)問題（2）中“各隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽中間隔的場(chǎng)次數(shù)的上限”‘ 應(yīng)指每個(gè)隊(duì)都滿足的間隔上限，其數(shù)學(xué) 表達(dá)：
d=max di
di=min i=1,2,3,….. ! j,k,t=1,2,3,…n
建模思想
d的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是一個(gè)最大值，因此可用一個(gè)線性規(guī)劃模型來描述。具體考慮滿足上限d要求的賽程編排法，則由于問題的特殊性，可將n分為偶數(shù)與奇數(shù)分別考慮；
當(dāng)n=2k,我們建立一種稱為‘循環(huán)規(guī)則”的賽程編制法, 并得到d的公式，作出證明；
當(dāng)n=2k+1，建立一種稱為“移位規(guī)則”的賽程編制法, 并得到d的公式，作出證明；
兩種證明的思路方法一樣，都屬于“構(gòu)造證明法”。最后將n為偶數(shù)與奇數(shù)的上限公式統(tǒng)一起來。
一般模型
d=max di
di=min
5. 模型求解
5.1 問題（1）的解
表1
A B C D E 每?jī)蓤?chǎng)比賽間相隔場(chǎng)次數(shù) 總間隔場(chǎng)次數(shù) A X 1 7 4 10 2，2，2 6 B 1 X 9 6 3 1，2，2 5 C 7 9 X 2 5 2，1，1 4 D 4 6 2 X 8 1，1，1 3
【資訊關(guān)鍵詞】：
